В ромбе диагонали пересекаются в точке . Окружность радиусом вписана в ромб и касается стороны в точке . Найдите площадь ромба, если известно, что .
Показать решение
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому и .
В прямоугольном треугольнике
Пусть сторона ромба равна . Тогда .
В прямоугольном треугольнике (угол при прямой)
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой делятся пополам, поэтому в треугольнике
Площадь ромба равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр:
Ответ: .
Теория
Смежные углы
Когда два угла образуют прямую линию (развернутый угол), их сумма всегда равна 180 градусам. Это простой, но очень важный факт: если вы знаете один угол, второй находится вычитанием из 180.
Сумма острых углов
В любом прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90 градусов. Это значит, что зная один острый угол, вы сразу можете найти второй.
Особые треугольники
Некоторые прямоугольные треугольники встречаются особенно часто и имеют замечательные свойства:
Треугольник с углами 30-60-90 градусов.
В нем катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, всегда в два раза меньше гипотенузы. Второй катет (напротив 60 градусов) больше первого катета примерно в 1.7 раза (точнее, в корень из трех).
Равнобедренный прямоугольный треугольник (45-45-90). У него два острых угла равны, значит и катеты равны между собой.
Главный секрет
Большинство задач составлены так, чтобы в решении встречались "удобные" углы: 30, 45, 60, 90, 120, 135 градусов. Если вы видите угол 120 или 135 градусов, сразу думайте о смежном угле — он будет 60 или 45 градусов, а это уже особые треугольники!