Дана четырёхугольная пирамида EKLMN, в основании которой лежит квадрат KLMN. Диагонали квадрата KM и LN пересекаются в точке O, и отрезок EO перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.
1) прямые EM и KN
2) прямые EK и MN
3) прямые EL и KN
5) прямые KM иMN
В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Показать решение
Проанализируем геометрические свойства данной пирамиды:
Основание KLMN - квадрат, значит, его смежные стороны перпендикулярны, а диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
EO - высота пирамиды, значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания.
Разберём каждый пункт списка:
Прямые EM и KN
Рассмотрим наклонную EM. Её проекцией на плоскость основания является отрезок OM.
Точка O лежит на диагонали ML, значит, проекция OM лежит на прямой ML.
Диагонали квадрата перпендикулярны: . Следовательно,.
По теореме о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной перпендикулярна прямой в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.
Значит, Утверждение верно.
Прямые EK и MN
Проекцией наклонной EK на основание является отрезок OK (часть диагонали KN).
Угол между диагональю квадрата KN и его стороной MN равен, поэтому они не перпендикулярны.
Следовательно, наклонная EK не перпендикулярна прямой MN.
Утверждение неверно.
Прямые EL и KN
Аналогично пункту 1. Проекцией наклонной EL является отрезок OL, лежащий на диагонали ML.
Так както .
По теореме о трёх перпендикулярах, Утверждение верно.
Прямые KM и EO
Прямая EO перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
Прямая KM лежит в плоскости основания.
Следовательно, Утверждение верно.
Прямые KM и MN
KM и MN - это смежные стороны квадрата KLMN.
Стороны квадрата перпендикулярны.
Утверждение верно.
Таким образом, верными являются пункты 1, 3, 4 и 5.
Ответ: 1345.
Теория
Перпендикулярность прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости. Это одно из ключевых свойств, которое часто упрощает решение задач.
Как это работает: высота пирамиды (перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию) автоматически перпендикулярна всем сторонам основания, всем диагоналям и вообще любым линиям, проведённым в плоскости основания.
Теорема о трёх перпендикулярах
Это одна из самых важных теорем в стереометрии. Она связывает перпендикулярность в пространстве и на плоскости.
Суть теоремы: Если у нас есть наклонная к плоскости и её проекция на эту плоскость, то:
Если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной
И наоборот: если прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции
Свойства квадрата
Квадрат — это идеальная фигура с точки зрения симметрии:
- Все стороны равны и попарно параллельны (противоположные стороны)
- Смежные стороны перпендикулярны — это следует из того, что все углы прямые
- Диагонали равны, делятся точкой пересечения пополам и, что особенно важно, перпендикулярны друг другу
- Диагональ делит угол квадрата пополам (получается угол 45°)
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если:
В основании лежит правильный многоугольник (в нашем случае — квадрат)
Вершина пирамиды проецируется в центр основания (точку пересечения диагоналей)
Важное следствие: В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.