Дана функция
1) Постройте график функции y = f(x).
2) При каких значениях уравнение f(x) = c имеет ровно три решения?
Показать решение
1) Построение графика функции
Раскроем модули по определению. Рассмотрим различные случаи:
Случай 1:
В этом случае |x| = x, поэтому:
Случай 2:
В этом случае |x| = x, поэтому:
Случай 3:
В этом случае |x| = -x, поэтому:
Случай 4: x < -2
В этом случае |x| = -x, поэтому:
Таким образом, функция задаётся кусочно:
Найдём ключевые точки:
При x = 0: f(0) = |0-2|+1 = 2+1 = 3 (локальный максимум)
При x = 2: f(2) = |2-2|+1 = 0+1 = 1 (минимум)
При x = -2: f(-2) = |-2-2|+1 = 0+1 = 1 (минимум)
График функции имеет форму буквы ``W'' с вершинами в точках (-2; 1), (0; 3), (2; 1).
2) Нахождение значений c
Рассмотрим уравнение f(x) = c, где c - некоторое число.
Количество решений этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции y = f(x) с горизонтальной прямой y = c.
Проанализируем различные случаи:
При c < 1: прямая y = c не пересекает график, решений нет.
При c = 1: прямая y = 1 касается графика в двух точках x = -2 и x = 2. Два решения.
При 1 < c < 3}: прямая y = c пересекает график в четырёх точках (по две на каждой ``ветви'' буквы W). Четыре решения.
При c = 3: прямая y = 3 пересекает график в трёх точках: x = 0 (вершина в центре)
Найдём остальные точки: f(x) = 3
При : x-1 = 3
При
Получаем три решения:
При c > 3: прямая y = c пересекает график в двух точках (только на внешних ветвях). Два решения.
Ответ: Уравнение f(x) = c имеет ровно три решения при: . При этом значении решения:
Теория
1. Модуль как расстояние
Самое главное свойство модуля — он всегда обозначает расстояние. График простой функции с модулем (y равен модулю икс) выглядит как галочка или буква V, которая упирается острием в центр координат. Главное правило: модуль не может быть отрицательным, поэтому график никогда не опускается ниже горизонтальной оси.
2. Откуда берется форма буквы W?
Графики функций с двумя модулями (когда один модуль находится внутри другого) часто приобретают форму буквы W или М. Это происходит в два этапа:
Сначала внутренний модуль образует обычную галочку.
Затем мы вычитаем из неё число. Это сдвигает всю галочку вниз.
В этот момент часть графика уходит в область отрицательных значений (ниже оси).
Внешний модуль работает как зеркало: он берет ту часть, которая ушла вниз, и отражает её вверх. Именно это отражение создает дополнительные изгибы, превращая одну галочку в форму с тремя вершинами (W).
3. Симметрия
Поскольку в основе функции лежит модуль от икс, график всегда симметричен относительно вертикальной оси. Это значит, что левая часть графика — это точное зеркальное отражение правой. Если вы знаете, что происходит справа, вы автоматически знаете, что происходит слева.