Решите неравенство
Показать решение
Разложим числитель на множители:
Неравенство примет вид:
Найдём, когда числитель равен нулю:
Найдём, когда знаменатель равен нулю (в этих точках дробь не определена):
Отметим все найденные точки на числовой прямой (по возрастанию):
Эти точки делят прямую на промежутки. Определим знак дроби на каждом из них.
Промежуток . Возьмём точку : , , . Значит, дробь отрицательна.
Промежуток . Возьмём точку : , , . Значит, дробь положительна.
Промежуток . Возьмём точку : , , . Значит, дробь отрицательна.
Промежуток . Возьмём точку : , , . Значит, дробь положительна.
Нужны те промежутки, где дробь меньше или равна нулю.
Так как неравенство нестрогое, нули числителя (где дробь равна нулю) включаем в ответ. Точки, где знаменатель равен нулю, не включаем.
Получаем:
Ответ: .
Теория
Что такое рациональное неравенство?
Это неравенство, содержащее дробно-рациональное выражение, где и числитель, и знаменатель являются многочленами.
Ключевые моменты при решении:
1) Область допустимых значений (ОДЗ)
- Знаменатель никогда не должен быть равен нулю
- Эти точки всегда выкалываются на числовой прямой
2) Критические точки
- Это нули числителя (где дробь равна нулю)
- Это нули знаменателя (где дробь не существует)
- Именно между этими точками знак дроби не меняется
3) Метод интервалов
- Отмечаем все критические точки на числовой прямой
- Определяем знак выражения на каждом интервале
- Выбираем нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства
4) Включение границ
- При нестрогих неравенствах (≤ или ≥) нули числителя включаются в ответ (закрашенные точки)
- Нули знаменателя никогда не включаются (всегда выколотые точки)
- Проверка знакаДостаточно проверить знак на одном интервале
- При переходе через точку знак меняется, если кратность корня нечётная
- Если кратность чётная — знак не меняется
Типичные ошибки:
Забывают про ОДЗ
Неправильно включают/исключают граничные точки
Ошибаются при определении знака на интервалах
Не проверяют дискриминант квадратного трёхчлена