1. Главная идея

Чтобы упростить выражение вида , нужно:

1. разложить все числа на простые множители;
2. записать степени через эти множители;
3. сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.

2. Разложение числа на простые множители

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Примеры:

• 14 = 2 · 7
• 4 = 2²
• 49 = 7²
• 6 = 2 · 3
• 12 = 2² · 3
• 18 = 2 · 3²

3. Свойства степеней

Степень произведения:

Пример:

Степень степени:

Пример:

,  

Деление степеней с одинаковым основанием:

, если

Пример:

4. Алгоритм решения

1. Разложить каждое число в числителе и знаменателе на простые множители.
2. Раскрыть степени по правилам:
3. Записать числитель и знаменатель как произведение степеней.
4. Сократить одинаковые основания.
5. Вычислить оставшееся выражение.

5. Пример полного решения

Вычислить:

1) Разложим числа:

14 = 2 · 7,   4 = 2²,   49 = 7².

2) Запишем выражение:

3) Сократим:

Ответ: .

6. Полезные приёмы

• Если число — степень двойки (4, 8, 16, 32), удобно сразу писать через 2.
• Если число — степень тройки (9, 27), удобно писать через 3.
• Если число оканчивается на 5, часто есть множитель 5.
• Если число чётное, обязательно есть множитель 2.

7. Частые ошибки

• неправильно раскрывают степень произведения: ;
• путают и ;
• забывают сокращать одинаковые множители;
• ошибаются при вычитании показателей: , а не без понимания.

8. Краткая памятка

Разложи → раскрой степени → сократи → посчитай.

Главное правило: одинаковые основания в числителе и знаменателе можно сокращать, вычитая показатели.