В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AB провели высоту DE. Отрезок CE делит диагональ BD в отношении 5:3, считая от вершины B. Найдите длину AB, если DC=6.
Показать решение
Пусть точка O - точка пересечения отрезков CE и BD.
Рассмотрим треугольники и .
Поскольку основания трапеции параллельны (), то . Следовательно, накрест лежащие углы при секущих BD и CE равны:
Значит, по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
По условию , а DC = 6. Подставим значения:
В равнобедренной трапеции высота DE, опущенная на большее основание AB, делит его на отрезки AE и BE. Известно свойство: отрезок BE (от основания высоты до противоположной вершины нижнего основания) равен полусумме оснований трапеции:
Подставим найденное значение BE = 10 и известное DC = 6:
Ответ: 14.
Теория
Запомните: В равнобедренной трапеции «длинный кусок» основания, отсекаемый высотой, всегда равен среднему арифметическому оснований.