На числовой прямой отмечены числа a и b, причём a < 0 < b.
Отметьте на прямой какую-нибудь точку x так, чтобы при этом выполнялись три условия: x - a < 0, x - b < 0 и ax > 0.
Показать решение
Из неравенства x - a < 0 получаем x < a.
Из неравенства x - b < 0 получаем x < b.
Поскольку a < b, то условие x < a автоматически означает x < b. Следовательно, x должна быть левее точки a.
Из неравенства ax > 0:
Так как a < 0 (отрицательное число), то для того чтобы произведение было положительным, x тоже должно быть отрицательным: x < 0.
Условие x < a уже подразумевает x < 0 (так как a отрицательно).
Ответ: Точку x нужно отметить левее точки a.
Теория
1. Координатная прямая
Координатная прямая — это прямая линия, на которой каждой точке соответствует определённое число. Нулевая точка (начало отсчёта) делит прямую на две части:
Слева от нуля находятся отрицательные числа
Справа от нуля находятся положительные числа
Чем правее точка, тем больше соответствующее ей число.
2. Взаимное расположение точек
Если на прямой даны несколько точек, важно понимать их порядок:
Точка левее — соответствует меньшему числу
Точка правее — соответствует большему числу
Расстояние между точками показывает разность чисел
3. Разность чисел и её знак
Выражение вида «x − a» показывает расстояние от точки a до точки x с учётом направления:
Если результат положительный — точка x находится правее точки a
Если результат отрицательный — точка x находится левее точки a
Если результат равен нулю — точки совпадают
4. Знак частного (дроби)
При делении двух чисел знак результата зависит от знаков делимого и делителя:
Если оба числа одного знака (оба положительные или оба отрицательные) — результат положительный
Если числа разных знаков — результат отрицательный
Это помогает определить, в какой части координатной прямой (положительной или отрицательной) должно находиться искомое число.
5. Система условий
Когда дано несколько неравенств одновременно:
Нужно найти область, которая удовлетворяет всем условиям сразу
Некоторые условия могут быть «сильнее» других (более строгие)
Если одно условие автоматически выполняется при выполнении другого, его можно не учитывать отдельно
6. Стратегия решения
Сначала определите знаки известных чисел по их расположению на прямой
Проанализируйте каждое условие отдельно
Определите, в какой области должны находиться искомые точки
Найдите пересечение всех полученных областей
Отметьте любую точку из полученной области
7. Важные моменты
Всегда проверяйте, не противоречат ли условия друг другу
Обращайте внимание на строгость неравенств (строгие или нестрогие)
Помните, что положение нуля — ключевое для определения знаков
При работе с дробями следите, чтобы знаменатель не был равен нулю
Эти принципы помогут решать задачи на определение положения точек на координатной прямой по заданным условиям.