Дана четырёхугольная пирамида , в основании которой лежит квадрат . Диагонали квадрата пересекаются в точке , и отрезок перпендикулярен плоскости основания. Точка — середина стороны .
Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых.
1) прямые и
2) прямые и
3) прямые и
4) прямые и
5) прямые и
В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Показать решение
Основание — квадрат, поэтому смежные стороны перпендикулярны:
(пара 5 верна). Диагонали квадрата перпендикулярны: .
По условию перпендикулярен плоскости основания, значит перпендикулярен любой прямой основания. В частности,
(пара 4 верна).
Точка — середина , причём . Плоскость проходит через высоту и через середину стороны , поэтому она перпендикулярна (и ). Следовательно,
(пара 1 верна).
Рассмотрим прямые и . Проекция ребра на плоскость основания — отрезок , лежащий на диагонали . Так как и , плоскость перпендикулярна , откуда
(пара 3 верна).
Прямые и не перпендикулярны (пара 2 неверна).
Итак, верны пары 1, 3, 4 и 5.
Ответ: .
Теория
Перпендикулярность прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости. Это одно из ключевых свойств, которое часто упрощает решение задач.
Как это работает: высота пирамиды (перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию) автоматически перпендикулярна всем сторонам основания, всем диагоналям и вообще любым линиям, проведённым в плоскости основания.
Теорема о трёх перпендикулярах
Это одна из самых важных теорем в стереометрии. Она связывает перпендикулярность в пространстве и на плоскости.
Суть теоремы: Если у нас есть наклонная к плоскости и её проекция на эту плоскость, то:
Если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной
И наоборот: если прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции
Свойства квадрата
Квадрат — это идеальная фигура с точки зрения симметрии:
- Все стороны равны и попарно параллельны (противоположные стороны)
- Смежные стороны перпендикулярны — это следует из того, что все углы прямые
- Диагонали равны, делятся точкой пересечения пополам и, что особенно важно, перпендикулярны друг другу
- Диагональ делит угол квадрата пополам (получается угол 45°)
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если:
В основании лежит правильный многоугольник (в нашем случае — квадрат)
Вершина пирамиды проецируется в центр основания (точку пересечения диагоналей)
Важное следствие: В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.