Каждый из 32 сотрудников владеет хотя бы одним из двух языков. Известно, что 17 человек говорят по-французски, а 21 — по-испански. Сколько сотрудников владеют обоими языками?
Показать решение
Пусть — множество тех, кто относится к первому признаку, — ко второму. По условию каждый из человек относится хотя бы к одному из множеств, поэтому
Известно, что
По формуле включений-исключений
откуда
Ответ: .
Теория
Формула включений-исключений для двух множеств:
Если каждый из элементов принадлежит хотя бы одному из двух множеств, то , и число общих элементов равно
Смысл формулы: при сложении и общие элементы учтены дважды, поэтому их нужно вычесть один раз.