Функция Дана .
1) Постройте функцию графика .
2) При каких значениях формулы имеет ровно три решения?
Показать решение
1) Построим график по шагам.
Сначала возьмём график .
Сдвинем его на 3 вниз: получим .
Отразим относительно оси те части графики, которые уходят ниже оси результата: .
Сдвинем полученный график на 2 вверх: получаем .
Графика имеет вид букв «W»: минимум в точках и , локальный максимум в точке .
2) Уравнение означает, что нужно провести горизонтальную выдачу и посмотрите, сколько раз она пересекает график.
Ровно три точки на пересечении получаются, когда прямой проход проходит через локальный максимум — точка . Тогда
В этом случае решениями будут , и class="mathml-container mathml-inline noncontenteditable" data-math-type="latex" data-math="x=6">.
При других корней числом другое: например, при — два первых, при — четыре начала.
Ответ:
1) график — см. рисунок;
2) при .
Теория
1. Модуль как расстояние
Самое главное свойство модуля — он всегда обозначает расстояние. График простой функции с модулем (y равен модулю икс) выглядит как галочка или буква V, которая упирается острием в центр координат. Главное правило: модуль не может быть отрицательным, поэтому график никогда не опускается ниже горизонтальной оси.
2. Откуда берется форма буквы W?
Графики функций с двумя модулями (когда один модуль находится внутри другого) часто приобретают форму буквы W или М. Это происходит в два этапа:
Сначала внутренний модуль образует обычную галочку.
Затем мы вычитаем из неё число. Это сдвигает всю галочку вниз.
В этот момент часть графика уходит в область отрицательных значений (ниже оси).
Внешний модуль работает как зеркало: он берет ту часть, которая ушла вниз, и отражает её вверх. Именно это отражение создает дополнительные изгибы, превращая одну галочку в форму с тремя вершинами (W).
3. Симметрия
Поскольку в основе функции лежит модуль от икс, график всегда симметричен относительно вертикальной оси. Это значит, что левая часть графика — это точное зеркальное отражение правой. Если вы знаете, что происходит справа, вы автоматически знаете, что происходит слева.