Функция Дана .
1) Постройте функцию графика .
2) При каких значениях формулы имеет ровно три решения?
Показать решение
1) График функции получается из графики последовательными преобразованиями:
• переход на 4 вниз: ;
• шаг на 2 вверх: .
Вычислим значения функций в характерных и дополнительных точках:
Получены точки: , , , , , , , , , , .
Среди их:
• точка минимума и ;
• точка локального максимума ;
• точки и на боковых лучах.
На координатной плоскости отмечены найденные точки и построены функции графика. Между точками излома график состоит из прямолинейных отрезков.
2) Уравнение равносильно нахождению абсцисс точек пересечения графических функций с прямым .
Графика имеет ровно три общие точки с прямой , если эта прямая проходит через точку локального максимума . Следовательно,
Точки пересечения: , , . Так,
Ответ:
1) функция графика — см. рисунок;
2) при .
Теория
1. Модуль как расстояние
Самое главное свойство модуля — он всегда обозначает расстояние. График простой функции с модулем (y равен модулю икс) выглядит как галочка или буква V, которая упирается острием в центр координат. Главное правило: модуль не может быть отрицательным, поэтому график никогда не опускается ниже горизонтальной оси.
2. Откуда берется форма буквы W?
Графики функций с двумя модулями (когда один модуль находится внутри другого) часто приобретают форму буквы W или М. Это происходит в два этапа:
Сначала внутренний модуль образует обычную галочку.
Затем мы вычитаем из неё число. Это сдвигает всю галочку вниз.
В этот момент часть графика уходит в область отрицательных значений (ниже оси).
Внешний модуль работает как зеркало: он берет ту часть, которая ушла вниз, и отражает её вверх. Именно это отражение создает дополнительные изгибы, превращая одну галочку в форму с тремя вершинами (W).
3. Симметрия
Поскольку в основе функции лежит модуль от икс, график всегда симметричен относительно вертикальной оси. Это значит, что левая часть графика — это точное зеркальное отражение правой. Если вы знаете, что происходит справа, вы автоматически знаете, что происходит слева.