В задуманном двузначном числе цифра десятков в 3 раза меньше цифры единиц. Если цифры поменять местами, то число увеличится на 54. Найдите задуманное число.
Показать решение
Пусть x — цифра десятков.
Тогда цифра единиц равна 3x.
Задуманное число: 10x + 3x = 13x
После перестановки: 10·3x + x = 31x
31x - 13x = 54
18x = 54
x = 3
Цифра единиц: 3·3 = 9
Ответ: 39
Теория
1. Десятичная запись числа
Самое главное правило: Двузначное число ‾xy — это НЕ произведение x⋅y. Это сумма разрядных слагаемых.
Если x — цифра десятков, а y — цифра единиц, то само число записывается так: 10x+y
Пример: Число 36. x=3, y=6.
10⋅3+6=30+6=36
2. Перестановка цифр
Когда мы меняем цифры местами, старое число (10x+y) превращается в новое (10y+x).
Разность чисел:
Если вычесть из числа число с переставленными цифрами, результат всегда делится на 9.
(10x+y)−(10y+x)=9x−9y=9(x−y)
Почему в задачах разность часто равна 18, 27, 36, 45, 54? Потому что это значения, кратные девяти.
Сумма чисел:
Если сложить число и число с переставленными цифрами, результат всегда делится на 11.
(10x+y)+(10y+x)=11x+11y=11(x+y)
3. Ограничения на цифры (ОДЗ)
При составлении уравнений важно помнить, что x и y — это цифры.