В треугольнике ABC вершина B лежит напротив большей стороны. Проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AH = 54, BC = BM. Найдите длину стороны AC.
Показать решение
Так как BC = BM, треугольник MBC равнобедренный. Высота BH к основанию MC — также медиана, поэтому MH = HC.
Обозначим HC = x. Тогда MH = x. Медиана BM делит AC пополам, значит AM = MC = MH + HC = 2x.
По условию AH = 54. На основании AM + MH = 2x + x = 3x, откуда:
Ответ: 72.
Теория
1. Обозначения
— медиана ⇒ — середина .
— высота ⇒ , .
2. Если BC = BM
Треугольник BCM равнобедренный. H — середина MC. Порядок на AC: A — M — H — C.
3. Если AB = BM
Треугольник ABM равнобедренный. H — середина AM. Порядок: A — H — M — C.
4. Алгоритм
а) Отметь середину M.
б) Определи равнобедренный треугольник (BCM или ABM).
в) Найди положение H на AC.
г) Запиши отрезки через AC и найди искомую длину.