Найдите наибольшее шестизначное число, которое делится на 15 и у которого все цифры расположены в порядке убывания (каждая следующая цифра меньше предыдущей).
Какое наибольшее пятизначное число с цифрами в строго убывающем порядке делится на 15?
Показать решение
1. Делимость на 15 означает делимость на 3 и на 5 одновременно.
2. Последняя цифра — 0 или 5. Для убывающего ряда берём 0 в конце.
3. Рассматриваем числа вида 9876…: у 98760 сумма цифр 30, она делится на 3.
4. Число 98765 оканчивается на 5, но сумма 35 не кратна 3.
5. Ответ: 98760 — наибольшее пятизначное число с убывающими цифрами, кратное 15.
Ответ: 98760.
Теория
Признаки делимости — правила, по которым можно понять, делится ли число на другое, не выполняя длинного деления.
- На 2 — число чётное (последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8).
- На 3 — сумма цифр делится на 3.
- На 4 — число из двух последних цифр делится на 4 (например, 76 : 4 = 19).
- На 5 — последняя цифра 0 или 5.
- На 9 — сумма цифр делится на 9.
Составные делители проверяют по отдельным признакам:
- 6 = 2 · 3 — число чётное и сумма цифр кратна 3;
- 12 = 3 · 4 — сумма цифр кратна 3, две последние цифры образуют число, кратное 4;
- 15 = 3 · 5 — сумма цифр кратна 3, последняя цифра 0 или 5;
- 18 = 2 · 9 — число чётное, сумма цифр кратна 9;
- 20 = 4 · 5 — последняя цифра 0, две последние цифры образуют число, кратное 4;
- 45 = 5 · 9 — последняя цифра 0 или 5, сумма цифр кратна 9.
Как решать задачи на подбор числа.
- Если цифры должны убывать, начинайте с больших цифр (9, 8, 7, …) и меняйте только последние, пока не выполнятся все признаки.
- Если цифры должны возрастать, начинайте с наименьшего возможного набора (1, 2, 3, …) и проверяйте делимость.
- Для делимости на 5 при убывающих цифрах удобно ставить 0 в конце; при возрастающих — чаще подходит 5 в конце.
- Чтобы найти наибольшее число — идите от больших цифр к меньшим; чтобы найти наименьшее — наоборот.
Сумма цифр числа:
Если число делится на 3 и на 5, то оно делится на 15: