Найдите наибольшее шестизначное число, которое делится на 15 и у которого все цифры расположены в порядке убывания (каждая следующая цифра меньше предыдущей).
Показать решение
1. Число делится на 15, значит оно делится на 5 и на 3.
2. По признаку делимости на 5 последняя цифра равна 0 или 5. При убывающих цифрах удобнее взять 0 в конце.
3. По признаку делимости на 3 сумма цифр должна делиться на 3. Начинаем с наибольших цифр 9, 8, 7, 6, 5 и подбираем последнюю.
4. Число 987650: сумма 35 — не делится на 3. Число 987640: сумма 34 — не делится на 3.
5. Число 987630: цифры убывают, сумма 33 делится на 3, последняя цифра 0 — делится на 5, значит делится на 15.
Ответ: 987630.
Теория
Признаки делимости — правила, по которым можно понять, делится ли число на другое, не выполняя длинного деления.
- На 2 — число чётное (последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8).
- На 3 — сумма цифр делится на 3.
- На 4 — число из двух последних цифр делится на 4 (например, 76 : 4 = 19).
- На 5 — последняя цифра 0 или 5.
- На 9 — сумма цифр делится на 9.
Составные делители проверяют по отдельным признакам:
- 6 = 2 · 3 — число чётное и сумма цифр кратна 3;
- 12 = 3 · 4 — сумма цифр кратна 3, две последние цифры образуют число, кратное 4;
- 15 = 3 · 5 — сумма цифр кратна 3, последняя цифра 0 или 5;
- 18 = 2 · 9 — число чётное, сумма цифр кратна 9;
- 20 = 4 · 5 — последняя цифра 0, две последние цифры образуют число, кратное 4;
- 45 = 5 · 9 — последняя цифра 0 или 5, сумма цифр кратна 9.
Как решать задачи на подбор числа.
- Если цифры должны убывать, начинайте с больших цифр (9, 8, 7, …) и меняйте только последние, пока не выполнятся все признаки.
- Если цифры должны возрастать, начинайте с наименьшего возможного набора (1, 2, 3, …) и проверяйте делимость.
- Для делимости на 5 при убывающих цифрах удобно ставить 0 в конце; при возрастающих — чаще подходит 5 в конце.
- Чтобы найти наибольшее число — идите от больших цифр к меньшим; чтобы найти наименьшее — наоборот.
Сумма цифр числа:
Если число делится на 3 и на 5, то оно делится на 15: