Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпало больше очков, чем второй.
Показать решение
1. Общее число исходов: .
2. Благоприятные исходы (первое > второго):
— Если первое = 2: второе = 1 (1 исход);
— Если первое = 3: второе = 1, 2 (2 исхода);
— Если первое = 4: второе = 1, 2, 3 (3 исхода);
— Если первое = 5: второе = 1, 2, 3, 4 (4 исхода);
— Если первое = 6: второе = 1, 2, 3, 4, 5 (5 исходов).
3. Всего: .
4. Вероятность: .
Ответ: .
Теория
Классическое определение вероятности:
, где m — число благоприятных исходов, n — общее число равновозможных исходов.
Свойства вероятности:
— ;
— P(достоверного события) = 1;
— P(невозможного события) = 0;
— .
Комбинаторика:
— Перестановки: ;
— Размещения: ;
— Сочетания: .
Свойства сочетаний: , , .
При бросании кубика:
— При одном бросании: ;
— При двух бросаниях: всего исходов;
— При n бросаниях: всего исходов.
При подбрасывании монеты:
— При одном подбрасывании: ;
— При n подбрасываниях: всего исходов;
— Вероятность ровно k орлов из n: .
Теоремы сложения и умножения:
— Для несовместных событий: ;
— Для независимых событий: .
Формула Бернулли:
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p, то вероятность того, что A наступит ровно k раз:
.
Полезные приёмы решения:
1. Метод дополнения: если трудно найти P(A), найдите P(Ā) и используйте .
2. Перебор исходов: для небольших задач перечислите все исходы.
3. Использование симметрии: если исходы симметричны, их вероятности равны.
4. Разбиение на случаи: разбейте сложное событие на простые несовместные.