Расстояние между пунктами А и В по реке равно 45 км. Из пункта А в пункт В по течению отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в В, тотчас повернула обратно и вернулась в А. К моменту возвращения лодки в А плот проплыл 28 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.
Показать решение
Скорость плота равна скорости течения реки и составляет км/ч. К моменту возвращения лодки плот проплыл км, поэтому время от начала движения плота равно:
Лодка отправилась на ч позже, значит время её движения:
Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна км/ч, причём . Тогда по течению скорость равна км/ч, против течения — км/ч. Составим таблицу:
Лодка прошла путь А → В → А за ч. Составим уравнение:
Сложим дроби:
Умножим обе части на знаменатель:
Разделим обе части на 6:
Вычислим дискриминант:
Так как , уравнение имеет два корня:
Корень не подходит по смыслу задачи, так как скорость лодки в неподвижной воде должна быть больше скорости течения: .
Следовательно, скорость лодки в неподвижной воде равна км/ч.
Ответ: 16 км/ч.
Теория
1. Время — ключевая величина Когда два объекта прибывают одновременно, их времена равны. Это главный "мостик", который связывает все данные в задаче.
2. Средняя скорость — это не среднее арифмететическое Если вы ехали половину пути медленно, а половину быстро, ваша средняя скорость НЕ равна полусумме скоростей. Она всегда ближе к меньшей скорости, потому что на медленном участке вы тратите больше времени.
3. Что делит путь, а что время
Если объект делит путь на части (половину пути, треть пути) — время на каждом участке разное
Если объект делит время на части (половину времени, треть времени) — расстояния на каждом участке разные
4. Ловушка "половины"
Когда в задаче говорится "первую половину пути" — это про расстояние. Когда "первую половину времени" — это про время. Это принципиально разные ситуации, которые приводят к разным ответам.
5. Что остается неизменным
В таких задачах всегда есть что-то общее:
- Либо расстояние (оба проехали один и тот же путь)
- Либо время (оба потратили одинаковое время)
- Либо и то, и другое (прибыли одновременно)
6. Как думать о разных скоростях
Если на одном участке скорость меньше, то:
- На этот участок тратится больше времени
- Этот участок "тянет вниз" среднюю скорость сильнее, чем кажется
7. Стратегия решения
- Определите, что одинаково для обоих объектов (время, расстояние, или и то, и другое)
- Поймите, как разделен путь или время у объекта с переменной скоростью
- Запишите, что время (или расстояние) первого равно времени (расстоянию) второго
- Решите уравнениеновременно