Скорый и пассажирский поезда одновременно отправились из города А в город В, расстояние 480 км. Скорый идёт на 20 км/ч быстрее пассажирского и прибывает на 2 ч раньше. Найдите скорость скорого поезда.
Показать решение
Пусть скорость пассажирского поезда равна км/ч, . Тогда скорость скорого поезда равна км/ч. Составим таблицу:
Скорый поезд прибыл на 2 ч раньше. Составим уравнение:
Разделим обе части уравнения на 2:
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
Приведём дроби к общему знаменателю :
Раскроем скобки в числителе:
Числитель равен нулю (при и ):
Умножим обе части на −1:
Разделим обе части на 2:
Итак, решаем квадратное уравнение:
Вычислим дискриминант:
Так как , уравнение имеет два различных корня:
Корень не подходит по смыслу задачи, так как .
Скорость пассажирского поезда равна 60 км/ч, скорость скорого — 80 км/ч.
Ответ: 80 км/ч.
Теория
1. Время — ключевая величина Когда два объекта прибывают одновременно, их времена равны. Это главный "мостик", который связывает все данные в задаче.
2. Средняя скорость — это не среднее арифмететическое Если вы ехали половину пути медленно, а половину быстро, ваша средняя скорость НЕ равна полусумме скоростей. Она всегда ближе к меньшей скорости, потому что на медленном участке вы тратите больше времени.
3. Что делит путь, а что время
Если объект делит путь на части (половину пути, треть пути) — время на каждом участке разное
Если объект делит время на части (половину времени, треть времени) — расстояния на каждом участке разные
4. Ловушка "половины"
Когда в задаче говорится "первую половину пути" — это про расстояние. Когда "первую половину времени" — это про время. Это принципиально разные ситуации, которые приводят к разным ответам.
5. Что остается неизменным
В таких задачах всегда есть что-то общее:
- Либо расстояние (оба проехали один и тот же путь)
- Либо время (оба потратили одинаковое время)
- Либо и то, и другое (прибыли одновременно)
6. Как думать о разных скоростях
Если на одном участке скорость меньше, то:
- На этот участок тратится больше времени
- Этот участок "тянет вниз" среднюю скорость сильнее, чем кажется
7. Стратегия решения
- Определите, что одинаково для обоих объектов (время, расстояние, или и то, и другое)
- Поймите, как разделен путь или время у объекта с переменной скоростью
- Запишите, что время (или расстояние) первого равно времени (расстоянию) второго
- Решите уравнениеновременно