На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тёзками.
Показать решение
Стол круглый — место Паши зафиксируем. Осталось четыре места: два соседних с Пашей и два дальних. На них садятся две Маши и два Саши.
Сколько всего рассадок? Нужно выбрать два места из четырёх для Маш (оставшиеся займут Саши). Таких выборов 6, все равновозможны.
Паша между тёзками в двух случаях:
• оба соседних места заняли Маши;
• оба соседних места заняли Саши (тогда Маши сидят на дальних местах).
Вероятность: 2/6 = 1/3.
Ответ: 1/3.
Теория
О чём задача. Несколько человек садятся за круглый стол. Среди них бывают тёзки. Нужно найти вероятность события вроде «сидит между двумя тёзками», «оба соседа — Маши», «Дима напротив».
Главный приём. За круглым столом рассадки, которые отличаются только поворотом, считают одинаковыми. Поэтому место одного человека (обычно именинника) фиксируют, а остальных рассаживают относительно него.
Формула. Вероятность = число подходящих рассадок / число всех рассадок.
Соседи. У каждого ровно два соседа — слева и справа. «Между двумя тёзками» значит: оба соседа одного имени.
Алгоритм.
1. Зафиксируйте место «главного» человека.
2. Посчитайте, сколькими способами можно рассадить остальных.
3. Отдельно посчитайте подходящие рассадки.
4. Если в условии «хотя бы», иногда проще найти противоположный случай и вычесть.
5. Запишите дробь и сократите.