К Коле пришли три Тани и три Вани. Все семеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Коля сидит между двумя тёзками.
Показать решение
Зафиксируем место Коли. Нужно выбрать три места из шести для Тань (остальные займут Вани) — 20 способов.
Оба соседа — Тани: третье место Тани — любое из четырёх дальних (4 способа). То же для Ваней — ещё 4:
Ответ: .
Теория
О чём задача. Несколько человек садятся за круглый стол. Среди них бывают тёзки. Нужно найти вероятность события вроде «сидит между двумя тёзками», «оба соседа — Маши», «Дима напротив».
Главный приём. За круглым столом рассадки, которые отличаются только поворотом, считают одинаковыми. Поэтому место одного человека (обычно именинника) фиксируют, а остальных рассаживают относительно него.
Формула. Вероятность = число подходящих рассадок / число всех рассадок.
Соседи. У каждого ровно два соседа — слева и справа. «Между двумя тёзками» значит: оба соседа одного имени.
Алгоритм.
1. Зафиксируйте место «главного» человека.
2. Посчитайте, сколькими способами можно рассадить остальных.
3. Отдельно посчитайте подходящие рассадки.
4. Если в условии «хотя бы», иногда проще найти противоположный случай и вычесть.
5. Запишите дробь и сократите.