Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли число с теми же цифрами, записанными в обратном порядке. Получили 99. Найдите все такие числа.
Показать решение
1. Пусть исходное число — , где — сотни, — десятки, — единицы, .
2. «Перевёрнутое» число: = .
3. По условию:
Упростим:
4. Разделим на 99:
Так как , , , перебираем :
→ → числа .
→ → числа .
→ → числа .
→ → числа .
→ → числа .
→ → числа .
→ → числа .
→ → числа .
5. Средняя цифра может быть любой от 0 до 9.
Ответ: 201, 211, …, 998 (80 чисел: , , …, ).
Теория
1. Трёхзначное число
Число с цифрами (сотни), (десятки), (единицы):
«Перевёрнутое»:
2. Разность (исходное − перевёрнутое)
Средняя цифра сокращается — в ответе её нет!
Разность всегда кратна 99.
3. Двузначное число
Разность кратна 9.
4. Сумма
5. Алгоритм
а) Запиши число через .
б) Составь «перевёрнутое» и выражи действие.
в) Упрости — найди связь между крайними цифрами.
г) Перебери цифры с учётом условий (, ).
д) Если средняя цифра не участвует в уравнении — она может быть любой.