В турнире 20 участников; среди них Павел, Роман, Сергей и Тимур. Номера разыгрывают жребием. Какова вероятность того, что Павел получит наименьший номер среди этих четырёх (то есть стартует раньше каждого из троих остальных)?
Показать решение
1. Среди четырёх выделенных любой с равной вероятностью может оказаться самым ранним.
2. Нужно, чтобы первым из четырёх был Павел.
3. Поэтому .
Ответ: .
Теория
Полезная теория: вероятность порядка
Если все перестановки равновероятны, для выделенных объектов важен только их взаимный порядок. Остальные участники часто не влияют на ответ.
Два объекта
«A раньше B» → .
Три объекта
Всего порядков:
— один конкретный порядок → ;
— A первая / последняя / средняя среди троих → ;
— не один конкретный порядок → .
Четыре объекта
Всего порядков:
— один конкретный порядок → ;
— фиксированное место A среди четырёх (1-я, 2-я, …) → .
Независимые условия на разные группы
Если условия про непересекающиеся наборы объектов, вероятности перемножают.